高等数学在整个数学中是什么等级的难度?为什么?

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明月几时有,把酒问青天,不知天上宫阙,可否有高树,树之高,不见其顶也,又其上,则黯然飘渺,不可及其层数矣,愈其上,则挂的人越多……不知道你是否也在上大学之前听过类似的言论,大学有棵树,叫做高树(数),上面

明月几时有,把酒问青天,不知天上宫阙,可否有高树,树之高,不见其顶也,又其上,则黯然飘渺,不可及其层数矣,愈其上,则挂的人越多……

不知道你是否也在上大学之前听过类似的言论,大学有棵树,叫做高树(数),上面挂了很多人,亦或是随机过程随机过,概率统计看概率……

对于理工科学生来说,高数虐我千百遍,依然还要待高数如初恋,只因为,挂一科高数,等于挂两门其他的课程的学分,只因为,如果高数学不会,大二大三的专业课也无法进行。提起学高数的意义,最开始是为了拿到那个学分,后来才知道,原来很多课程都是高数作为基础的……

可是无论如何,高数终究是要学的,逃避是不可能的事。

早在公元前的希腊文明中,那时候的智者就已经表现出对数学的极大地敬畏之心,尤其以毕达哥拉斯学派为甚,以至于提出了“万物皆数”的理念。在那个时代,数学还带着一种哲学的味道,哲学家或是数学家都想用完美的数来解释这个世界和宇宙。而后很多文明的诞生与发展,数次工业革命的爆发何曾离开过数学的身影,可以说,没有数学人类文明便不会如此的繁荣昌盛。

就现实而言,当下的哪一门学科的发展能离开数学?物理学,化学,计算机,金融学,生物工程等等,这些学科的极大发展往往需要依赖于相关数学模型和数学原理的完备而实现。就我们现阶段的学习而言,没有良好的数学基础想在理工科领域内混的风生水起几乎是不可能的。

作为一个过来人,今天我就说说关于高数的点滴看法。毕竟在上大学时,笔者几乎看完学校图书室数学类比较知名图书100多本,记了笔记16大本(冲着考研),至今还保留有,每每看到这些笔记很是感慨啊。为了使大家了解 “ 高等数学 ” 在数学中的地位,我们简要地介绍一点数学的历史。

如上图,了解数学的发展阶段,就知道了高等数学在数学发展过程中的地位,微积分(Calculus),即高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算,是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学,包括求积分的运算,为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。微积分是以变量与变量之间的关系(即函数)为研究对象,所用的主要工具是极限。微积分最重要的思想就是“微元”和“无限逼近”

高数为什么叫高数?

有人作了一个粗浅的比喻:如果将整个数学比作一棵大树,那么初等数学是树根,名目繁多的数学分支是树枝,而树干就是 “ 高等分析、高等代数、高等几何 ” ( —— 它们被统称为高等数学)。这个粗浅的比喻,形象地说明这 “ 三高 ” 在数学中的地位和作用,而微积分学在 “ 三高 ” 中又有更特殊的地位。学习微积分学当然应该有初等数学的基础,而学习任何一门近代数学或者工程技术都必须先学微积分。

英国科学家牛顿和德国科学家莱布尼茨在总结前人工作的基础上各自独立地创立了微积分,与其说是数学史上,不如说是科学史上的一件大事。

恩格斯指出: “ 在一切理论成就中,未必再有什么像 17 世纪下半叶微积分学的发明那样被看作人类精神的最高胜利了。 ” 他还说; “ 只有微积分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态,并且也表明过程、运动。 ”

美国著名数学家柯朗指出:“微积分,或曰数学分析,是人类思维的伟大成果之一。它处于自然科学与人文科学之间的地位,使它成为高等教育的一种特别有效的工具…这门学科乃是一种憾人心灵的智力奋斗的结晶。”

数百年来,在大学的所有理工类、经济类专业中,微积分总是被列为一门重要的基础理论课。

时至今日,在大学的所有经济类、理工类专业中,微积分总是被列为一门重要的基础理论课。

高等数学有哪些特点?

高等数学有三个显著的特点:高度的抽象性;严谨的逻辑性;广泛的应用性。

( 1 )高度的抽象性

数学的抽象性在简单的计算中就已经表现出来。我们运用抽象的数字,却不是每次都把它们同具体的对象联系起来。在数学的抽象中只留下量的关系和空间形式,而舍弃了其他一切。它的抽象程度大大超过了自然科学中一般的抽象。

( 2 )严谨的逻辑性

数学中的每一个定理,不论验证了多少实例,只有当它从逻辑上被严格地证明了的时候,才能在数学中成立。在数学中要证明一个定理,必须是从条件和已有的数学公式出发,用严谨的逻辑推理方法导出结论。

( 3 )广泛的应用性

高等数学具有广泛的应用性。例如,掌握了导数概念及其运算法则,就可以用它来刻画和计算曲线的切线斜率、曲线的曲率等等几何量;就可以用它来刻画和计算速度、加速度、密度等等物理量;就可以用它来刻画和计算产品产量的增长率、成本的下降率等等经济量; …… 。掌握了定积分概念及其运算法则,就可以用它来刻画和计算曲线的弧长、不规则图形的面积、不规则立体的体积等等几何量;就可以用它来刻画和计算变速运动的物体的行程、变力所做的功、物体的重心等等物理量;就可以用它来刻画和计算总产量、总成本等等经济量。

感慨与反思

善于发现数学的美,或许我们就会兴趣盎然探寻它,一首小诗送给大家

拉格朗日,

罗尔街旁,

守望柯西的忧伤;

若思想有界,

爱已被迫收敛,

感情的定义域内连续。

洛必达的终结,

解不开泰勒的心结,

是否还在麦克劳林的彷徨中独自徘徊。

我们拿生命的定积分,

丈量感情的微分,

换来青春的不定积分,

前方是否可导,

等待一生的莱布尼茨。

法国数学家笛卡尔指出:“没有正确的方法,即使有眼睛的博学者也会像瞎子一样盲目摸索”。学习必须讲究方法,但任何学习方法都不是惟一的。希望同学们能够尽快适应大学的学习生活掌握正确的学习方法,培养能力,提高综合素质。

作为一名本硕均为数学系的毕业生来回答一下这个问题。

我觉得,对于理工科的大学生,应该绝大多数学习都会有高等数学的课程,所以,就没必要重复讲解牛顿、莱布尼茨、狄利克雷、泰勒展开.....这些跑题的概念了。

既然题目是高等数学在整个数学中是什么地位?那么就从地位这个词展开介绍。

高等数学在数学领域的地位

高等数学是相对于初等数学而言,是大多数理工科学生进入大学之后必修的课程之一,它主要包含,

  • 线性代数

  • 微积分

  • 常微分方程

  • 空间解析几何

  • ......

这些稍高于高中所学数学的知识。

其实,我们能够发现,高等数学中所涉及的知识,在高中阶段都浅尝辄止式的讲过一些,当然,这也分学校,由于高考不是必考点,所以,很多学校直接略过。

高等数学对于工科、理科、财经类研究生考试的基础科目,它们整体而言还是和高中数学比较类似,比较偏向于数学计算,而且还都是围绕欧式空间在展开。

对于数学领域而言,高等数学算法非常基础的课程。如果你继续沿着数学专业读到硕士、博士阶段,你会发现,高等数学和后期所学的知识存在一个断层。逐渐开始接触泛函、希尔伯特空间、数值解、实分析复分析.....突然有一天你会发现,已经从高等数学的计算转向了证明。对比于最初考验计算能力开始变的考验逻辑思维能力。

所以,如果沿着数学领域一直都到硕士、博士甚至更远,高等数学所占的地位是微乎其微的。

高等数学在工作中地位

“买菜也用不到微积分,干嘛学数学?”

这是我此前在某平台看到的一句无知的笑话。

的确,作为一个从业人员,我也看得出来,在很多岗位其实用不到数学,以我周围接触的同班同学而言,很多毕业后进入了销售岗、高中教师,这的确用不到高等数学。

但是,高等数学在工作中的地位要远远高于它在数学专业领域所处的地位。

近几年随着人工智能的火热,我们发现,机器学习、强化学习,其实最终都是归根于数学中的优化算法。

另外,在航空领域,空气动力学大多数也都是围绕微积分再展开。此外,对于硬件领域也非常重要,例如,汽车、手机仿真,都是属于有限元体系。

所以,高等数学在工作中,尤其是比较深入的工作中,占据的地位非常高。

高等数学在整个数学中是什么等级的难度?为什么?

在大学中有个段子广为流传:

大学有棵树,名为高数,上面挂了很多人。

如果说美好的大学生活中存在噩梦的话,那么一定是高数。

如果说大学生总要经历那么一次毒打的话,那么还是高数。

如果说世界上有什么比女生的心思还难分析,那么一定还是高数。

……

高数是大学人的通行证,高数也是大学人的墓志铭。

大学里大部分的专业的学生都逃不掉高数的的蹂躏。

一代又一代的大学人都要硬着头皮啃高数这块硬骨头,足以证明高数的重要性。

那高数在整个数学中到底占怎样的难度呢?

高数,是高等数学的简称。

所谓的“高等”数学是相对于初等数学而言的。

而初等数学,也就是你初中高中所学习的数学。

也就是说,如果按照难度的等级把数学分类的话,那么数学可以被分成两类:

初等数学和高等数学。

数学的发展实际上是一个长江前浪推后浪的过程。

每一项数学领域的进步和发展都建立在无数前人的努力基础上。

如果一个人要研究其中一个小分支的话,穷极他一生也研究不完。

数学的博大精深就在于此。

而把数学的博大精深减掉你初中高中学过的那部分,剩下的就是高等数学。

简而言之,高等数学的难度能在一定程度上反应出整个数学的难度。

如果说要把高等数学的难度在整个数学中分隔等级的话,那么一定是最高级。

那高等数学到底难在哪里?

抽象的让常人难以理解

我们是从父母手中的苹果里开始识数的。

因为人类是感官动物,我们必须要感受到“一个苹果”这个客观独立的存在,才能把它和数字“1”联系起来。

如果非要用“1是最小的原始单位”这样的概念来教我们的话,恐怕小学六年级的进度还停留在九九乘法表。

我们能通过数苹果的方法认识数字,正是因为我们感受到了具体的形象。

可是数学领域越深入,越抽象。

在很多时候高等数学中概念,能让你产生一种“每个字我都认知,但是连在一起就不知道它在说什么了”这样的感觉。

因为在我们的大脑中我们下意识地再用“苹果”思维去理解这个概念,但是尝试着理解之后才会发现,这个概念好像和任何事物都没有联系。

理解概念这是高等数学学习的第一步,然后你才要用这个概念解决问题。

我们的感官能帮助我们感受世界形象的变化,这是人的本能。

而数学研究确实抽象的问题,是违反人的本能的。

严谨的思维逻辑

很多人在初中高中写数学题的时候都会有这样的经历:

只是因为过程中有个数据出现了问题,导致结果出现很大的偏差。

失之毫厘谬以千里。

这就是数学严谨性的体现。

对于严谨性的问题,有人认为这是数学美学的体现,有的人确认为这是数学的变态。

连孔子都曾经说过:

“人非圣贤孰能无过?”

但是,这在高等数学的世界中却不存在。

在数学的世界里,错了就是错了。

数学的世界没有灰色地带,一切不是黑的就是白的,不是对的就是错的。

一个步骤出现了问题,甚至可能只是逻辑方面的瑕疵,就会导致最后的证明出现巨大的谬误。

前功尽弃,推到重来是数学研究中常有的事。

要想研究高等数学领域的问题,就必须逼自己达到圣贤的状态。

每一步都必须有充分的证明,每一个数据都必须经过精密的计算。

这就是数学的严谨性,也是折磨着一代又一代数学人的元凶。

最后,在很多人眼中,高等数学是变态的。

变态的抽象,变态的严谨,变态得让人想退学。

但是我们却不能否认,这是这门变态的学科推动着世界的发展。

从汽车到原子弹,从物理到化学,从地质到宇宙。

没有一个离开得了数学。

这也是无数数学家们前赴后继,整日埋头于那些枯燥繁琐的数字中的原因。

数学的发展关乎到整个人类文明的发展。

此外,如果有的同学想要参与数学领域的研究,这里有一点建议:

必须对数学真的感兴趣。

因为研究抽象的数学真的是件非常枯燥的事情。

但在那些对数学感兴趣的人眼中,数学却是一门高度严谨、充满了抽象美的学科。

也只有这样,才能在日复一日的乏味工作中坚持下来,做出成就。

你好,很高兴能够回答你的问题,希望能给你带来帮助。

导言

我先亮明一下我个人的观点,至于高等数学在整个数学中所处的难度等级不好去量化,但是我可以做个比喻。如果说高等数学是小池塘的话,那整个数学体系不亚于一片大海,这丝毫不夸张。

我们可以看一下在高数中顶顶有名的人物,他们的出生年代。莱布尼兹生于1646年,卒于1716年;牛顿生于1643年,卒于1727年;布鲁克·泰勒生于1685年,卒于1731年;拉格朗日生于1736年,卒于1813年;柯西生于1789年,卒于1857年;欧拉生于1707年,卒于1783年...而高等数学仅仅是那个年代的故事。

高等数学学什么

高等数学不同的学科可能学的内容存在差异,笔者是工科出身,我以我们的专业来讲一下高等数学所学的内容:

  • 上册

包括函数与极限(数列的极限,函数极限)、导数(主要是高阶导数)、微分(微分中值定理,洛必达法则,泰勒公式)、不定积分、定积分、反常积分、微分等等。

  • 下册

包括向量代数与空间解析几何、多元函数微分法及其应用、重积分、曲线积分与曲面积分、无穷级数等等,主要是上侧内容的深化与升华。

数学包括什么

数学一般分为分析,代数,几何三类,数学非常广,这里面每一个方向都还能再细分再细分再细分,基本上每个大类可以细分为许多的小类,这些小类又有几百个方向。因为我本人不是数学系的,所以也不是特别清楚数学的结构体系,虽然学到了硕士阶段,但是真的没有底气说自己了解数学。那么数学大致包括哪些呢,我知道的大概有:

  • 1.数理逻辑等:集合论等

  • 2.分析:实分析,复分析,数学分析等

  • 3.代数:高等代数,交换代数,抽象代数,同调代数等

  • 4.几何:拓扑,黎曼几何等

  • 5.几何代数分析混合:代数几何,混沌等

等等等...

时代是不断发展的,科技是不断创新的,数学也会不断的创新发展。单单今天的数学来讲,即使高端的科学家也不可能把数学掌握的面面俱到,因为数学太庞大了,庞大到以人的经历只能涉猎其某一小块领域。

总结

高等数学虽然达到了一定的难度,但是纵观整个数学体系,看起来仍旧很渺小。时代不断发展,数学的广度和深度日益增加,变得愈加复杂。我想用一张图来结尾。

(图片源于网络)

以上,希望能给你带来帮助。你觉得呢,你心中的数学是个什么样子?快来评论区评论吧!

高等数学在整个数学中是什么等级的难度?为什么?

《高等数学》,这是一门数学专业看不上、其他专业不敢上的课程。它的存在,体现了学习者有用则学、用完即弃的急功近利心态。

数学专业学生进了大学后,就必须学习《数学分析》(简称数分),这是该专业的两大支柱课程之一(另一门是《高等代数》)。这门课难度之大,就连中学数学好手都得脱几层皮才能够适应。在中学时如果是靠呆板学习才能拿到数学较好成绩的,千万别不自量力,去修读这样难啃的硬骨头。数学专业学生有部分能够学好数分,因为如果学不好,后面的课程就接续不了,只能迎难而上。

而《高等数学》(简称高数),就是数分的简约版。但这简约精简的地方不对,把最重要的逻辑推理都简化得差不多了,剩下的渣就是所谓高数的理论框架。其内容安排隐含着这样的思路:反正也不是学数学专业,就学点皮毛能对付着用起来即可。

高数由于没有推理的铺垫,学起来反而比数分更难,再加上其他专业学生本来学数学就勉为其难,一遇到沟沟坎坎就不想过去了,于是几乎绝大多数大学生都学得很差。少数名牌大学由于生源质量好,学生学习的自觉性高,才能学得深入,并主动找来各种教辅材料补充学习,甚至接触到数分的内容,这样好的学习者自然是凤毛麟角。

由于大学高数的学习乏善可陈,多年前有的人就这样想:既然高数这么难,何不提前在中学“剧透”?于是大概在九十年代末期开始,极限导数积分等高数基础就真的“下放”到中学了。

但中小学其实也没解决好数学学习的真正难点,即逻辑推理。因而高数提前学习还是没有收到什么实质的效果,众多大学生到了大学照样“挂”在高数这颗歪脖子树上。

从数学教育这方面来看,目前我国的情况还是以“温饱”为目标,并不是从培养高级人材的思路出发的。这就使数学变成为其他专业服务的辅助学科,不受重视,学生的态度也就不太虔诚。俗话说“心诚则灵”,而相反该怎么说?于是才会出现把高数“高看”的不正常但又司空见惯的现象。

数学是一切科学的基础。

高等数学又是一切理化科学的教学研究的有力手段。

高等数学又是追求真理的唯一目标。

高等数学是宇宙起源与演化的重要组成部分。

难度来算:

平面几何 100分,

数学物理方程 95分

数值分析 95分

随机过程 90分

概率论与数理统计 90分

数学物理方法 90分

线性代数 90(看脑袋那根筋变过来了没有)

高数二 85分

小波分析 85分

解析几何 85分

高数一 80分

代数(初中,高中)75分

矩阵论 75分(假设线代学得好)

复变函数 70分

立体几何 70分

常微分方程 65分

这是我非数学专业博士读完整个的感觉,高数一比较简单,高数二稍微复杂一点!

我来回答这个问题,数学,发展到了高等数学阶段以后,可以说是“开了挂”,很多原来解决不了的问题都迎刃而解了,而且高等数学对很多问题的看法也和初等数学不一样,于是就有人说,不要管初等数学了,来搞高等数学吧。我并不是反对这种说法,但是我要补充两句,那就是,初等数学学不好,是没法学高等数学的,而高等数学也没那么神秘。

先说第一句。我能想到的最直接的例子就是导数公式,比如正弦函数的导数是什么?怎么推导?这里需要用到和差化积公式,算不算是初等数学?另外一个例子则是二阶常微分方程,在解法上和一元二次方程关系密切,而后者是典型的初中知识。不仅如此,我们还需要初等数学对代数式进行各种处理。比如说,当我们要对三角函数或者分式函数积分的时候。类似的例子当然还可以举出很多。

下面再说高等数学不神秘。很多人感觉线性代数很难,其实在我看来,这就是普通的平面(和立体)坐标系里相关知识的 进一步推广。其中至少平面坐标系是我们在中学早就熟悉了的,也早就用来研究各种几何问题了。如果你在学线性代数的时候,脑子里有平面坐标系作例子,能够时刻注意到二者的联系和区别,是不是感觉就容易多了呢?说到底,你所觉得的“难”,是因为你只停留在教材原文上,始终在一大堆定义、性质的文字叙述里打转转。记得华罗庚老先生曾经要求大家读书的时候要把书“从薄读到厚再从厚读到薄”,这里的“从薄读到厚”就是说你要带着具体例子去理解教材。再以二项式定理为例,如果你仅研究正整数指数的情况,那仅用排列组合的知识就可以了,可是如果你把它引申到任意指数,那就开启了“泰勒展式”的大门,而据说,当年牛顿等人研究微积分的时候,二项式定理曾经是个重要的工具。

有人也许会说,你举的这些例子都太浅了,但是,即使再高深的东西都是由浅入深逐步发展而来的。我再举一个完全是初等数学的例子。好像现在初中都不讲余弦定理了?但其实只要学生学过勾股定理,而且了解任意角的三角函数定义,是很容易自己推出公式的。这是二者相联系的一方面,而另一方面,余弦定理比勾股定理适用范围要广得多,威力大得多,而且这里的关键思想——由锐角推广到任意角的三角函数——学生不容易想到,即使你直接告诉学生了,学生也不容易想到要推广勾股定理——除非你给学生出一道要求用字母计算斜三角形的题目。我的意思是,高等数学和初等数学之间的关系,很多时候也像余弦定理和勾股定理的关系,往往关键的进展只有一步,但这一步往往很难,这就是教材和老师的作用了。

大学里的″高数”,是课程名称,不是数学分支名称,其主要内客称为″数学解析″或″数学分析″。它是进入"数学王国″的进阶石。不学好它,其他数学分支就别想学啦。比如你连数学分析都不懂就想学概率论,场论,模糊数学甚至拓朴,肯定是作梦。(这是大学里数学老师对我讲的。我问他″高等″数学学完了,还有″更高等″数学吗)?

高等数学就是高数,高数也就高中数学吧。偏重于应用,难度真的很低。我高数89分,数分好像只有40多,偏微分方程只考了12分。不过12分是我们班级第二名。最后只能放弃第二专业学位了。

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